دنباله فيبوناچي و عدد طلايي

تعریف هندسی: طول مستطیلی به مساحت واحد که عرض آن یک واحد کمتر از طولش باشد. مقدار دقیق عدد فی برابر است با:

گنجینه هوشیار

اشتراک گذاری اطلاعات عمومی از همه موضوعات جالب و شنیدنی امروز و دیروز

دنباله فیبوناچی و عدد طلایی چیست؟

شاید بهتر باشد مفهوم دنباله فیبوناچی را با یک مثال بیان کرد . فرض کنید یک جفت خرگوش نر و ماده داریم که در پایان هر ماه یک جفت خرگوش نر و ماده دیگر به دنیا می آورند . با این وضعیت و اگر روند زاد و ولد را ثابت بگیریم در انتهای سال چند جفت خرگوش نر و ماده داریم؟

مساله ی خرگوش ها باعث به وجود آمدن دنباله ای به نام دنباله ی فیبوناچی شد .

در دنباله ی فیبوناچی هر جمله برابر با مجموع دو جمله ی قبل از خود است. به عبارت زیر دقت کنید :

حال دقت کنید که هر جمله برابر با مجموع دو جمله ی قبل از خود است . برای مثال ۸۹ برابر با مجموع دو عدد قبل از خود یعنی ۵۵ و ۳۴ است. اعداد فوق را دنباله ی فیبوناچی یا سری فیبوناچی گویند.

در مورد خاصیت جالب دیگر سری فیبوناچی می توان گفت اگر شما هر جمله از این سری را به جمله ی قبل از خود تقسیم کنید یک سری جدید به وجود خواهد آمد که به عدد …۶۱۸۰۳۳/۱ همگراست . عددی که به ” عدد طلایی ” معروف شده است.

جالب است بدانید عدد طلایی دارای خاصیتی عجیب و شگفت انگیز است . عدد طلایی یک نسبت ویژه ی ریاضی است که بسیاری از مفاهیم بر پایه ی این عدد بنا شده است . کافی است به کاربرد این عدد در طبیعت نگاهی انداخت . برای مثال به موارد زیر توجه کنید : اهرام مصر بر پایه نسبت عدد طلایی برپا شده اند . نسبت تقسیم فاصله نوک انگشتان تا آرنج به فاصله مچ تا آرنج همان عدد طلایی خواهد بود !دنباله فيبوناچي و عدد طلايي

قانون فیبوناچی و موسیقی

دنباله فیبوناچی در میان سایر موارد به رمز طبیعت، نسبت الهی، نسبت طلایی، مارپیچ فیبوناچی ملقب شده است.عدد فی یا عدد طلایی از دنباله فیبوناچی مشتق شده است، تصاعد مشهوری که شهرتش تنها به این دلیل نیست که هر جمله با مجموع دو جمله پیشین خود برابری می‌کند، بلکه به این دلیل است که خارج قسمت هر دو جمله به جمله ماقبلش عدد طلایی ۱.۶۱۸ است که به «نسبت طلایی» یا «عدد فی» مشهور است.

لازم است بدانید اولین اعداد این سری عبارت‌اند از:
۰ ، ۱ ، ۱ ، ۲ ، ۳ ، ۵ ، ۸ ، ۱۳ ، ۲۱ ، ۳۴ ، ۵۵ ، ۸۹ ، ۱۴۴ ، ۲۳۳ ، ۳۷۷ ، ۶۱۰ ، …

مارپیچ فیبوناچی

شاید مارپیچ فیبوناچی را جای دیگر هم دیده باشید:

این توالی، الگو و مارپیچ در موارد زیادی ظاهر شده است که شاید هرگز متوجه آن نشده باشید و در هنر و موسیقی استفاده شده است. فقط نگاه کنید که چگونه لئوناردو داوینچی آن را در یکی از معروف ترین نقاشی های خود، مونالیزا به کار برده است:

دنباله فیبوناچی در موسیقی

دنباله فیبوناچی نقش مهمی در هارمونی موسیقی غربی و مقیاس های آن ایفا می کند. در اینجا حقایقی وجود دارد:

یک اکتاو روی پیانو از ۱۳ نت تشکیل شده است. هشت کلید سفید و پنج کلید سیاه هستند.
یک گام از هشت نت تشکیل شده است که نت های سوم و پنجم پایه یک آکورد پایه را ایجاد می کنند.
در یک گام نت غالب، نت پنجم است که نت هشتم از تمام ۱۳ نت تشکیل دهنده اکتاو است.
تقسیم هشت بر ۱۳ برابر با ۰.۶۱۵۳۸ … نسبت طلایی تقریبی)
همانطور که در تصویر زیر میبینید اینها همه اعداد در دنباله فیبوناچی هستند: ۳، ۵، ۸، ۱۳.

چه کسانی از دنباله‌ی فیبوناچی در کارهایشان استفاده کردند؟

آهنگسازان و سازندگان صدها سال است که از دنباله فیبوناچی و نسبت طلایی برای آهنگسازی و خلق موسیقی استفاده می کنند.

به عنوان مثال، موتزارت بسیاری از آثار خود را بر اساس نسبت طلایی نوشته است و به ویژه سونات های پیانو خود را بر این مبنا پایه گذاری کرده است.

سونات های قدیمی دو بخش دارد:
تم : جایی که موضوع موسیقی معرفی می شود.
توسعه و خلاصه موضوع : جایی که تم موسیقی نوشته و تکرار می شود.
حالا نکته جالب اینجاست…

موتزارت سونات‌های پیانوی خود را طوری تنظیم کرد که تعداد خط میزان ها در ساخت و جمع‌بندی تقسیم بر تعداد خط میزان های نمایش تقریباً برابر با ۱.۶۱۸ باشد، یعنی نسبت طلایی.

بیایید اولین موومان سونات پیانوی شماره ۱ موتزارت را در سی ماژور به عنوان مثال در نظر بگیریم.

نسبت طلایی در سونات پیانوی شماره ۱ موتزارت.

در نمودار بالا، C اولین موومان سونات به عنوان یک کل، B توسعه و جمع بندی، و A شرح است.

تم شامل ۳۸ خط میزان و توسعه و خلاصه سازی شامل ۶۲ خط میزان است. اولین موومان به طور کلی شامل ۱۰۰ خط میزان است.

۶۲ تقسیم بر ۳۸ برابر است با ۱.۶۳ (تقریباً نسبت طلایی)

کارشناسان ادعا می کنند که بتهوون، بارتوک، دبوسی، شوبرت، باخ و ساتی و چند نفر دیگر نیز از این تکنیک برای نوشتن سونات های خود استفاده کردند، اما هیچ کس دقیقاً مطمئن نیست که چرا این قدر خوب کار می کند.

استرادیواری

آنتونیو استرادیواری که از او به عنوان استاد ساخت ویولن یاد می شود، برخی از زیباترین و خوش صداترین ویولن های موجود را ساخته است.دلیلی وجود دارد که خرید ویولن استرادیواریوس چند میلیون پوند برای شما هزینه دارد و ارزش آن تا حدی به دنباله فیبوناچی و نسبت طلایی مربوط می شود.

استرادیواری از دنباله فیبوناچی و نسبت طلایی برای ساخت ویولن های خود استفاده میکرد.

نسبت طلایی را می توان با تقسیم طول قسمت های خاصی از ویولن در سرتاسر ویولن پیدا کرد. برخی از مردم فکر می کنند این یکی از دلایلی است که به نظر خوب می رسد.

علاوه بر استفاده برای ساخت ویولن، نسبت طلایی که از دنباله فیبوناچی می آید، برای دهانی ساکسیفون، سیم های بلندگو و حتی در طراحی آکوستیک برخی از کلیساها نیز استفاده شده است.

اعداد اعجاب انگیز فیبوناچی در تحلیل تکنیکال

در ریاضیات سری اعداد مهم فیبوناچی به دنباله‌ای از اعداد گفته می‌شود که به صورت زیر تعریف می‌شود:

Fn=F(n-1) + F(n+1) ; n=0 –> Fn=0;n=1–> Fn=1

غیر از دو عدد اول اعداد بعدی از جمع دو عدد قبلی خود بدست می‌آید. اولین جملات سری اعداد فیبوناچی عبارت‌اند از:

این اعداد به نام لئوناردو فیبوناچی ریاضیدان ایتالیایی نام‌گذاری شده‌است. وی نخستین ریاضیدان بزرگ اروپا در قرن سیزدهم است که بیشتر فعالیت‌ هایش از آثار ریاضیدان‌ های مسلمان به خصوص خوارزمی، کرجی و ابوکامل تأثیر پذیرفته است.

در این مقاله به بررسی اعداد فیبوناچی، نسبت طلایی و اعداد مهم فیبوناچی می پردازیم.

فیبوناچی در تحلیل تکنیکال

فیبوناچی در تحلیل تکنیکال می تواند تاثیرات مختلفی داشت باشد. دیگر همه فعالان بورس و بازار های ارزی، با مباحث مربوط به تحلیل تکنیکال آشنا هستند. این تحلیل ها می توانند تاثیرات مختلفی را بر روی فعالیت های اصلی افراد داشته باشند. اگر شما هم قصد استفاده از فیبوناچی در تحلیل تکنیکال را دارید، در ادامه با ما همراه باشید.

فیبوناچی چیست؟

فیبوناچی به دنباله قوی از اعداد گفته می شود که ترکیب خاصی دارد. در این ترکیب، شمارش از 1 شروع شده و ادامه پیدا می کند. بر خلاف 2 عدد اول، همه اعداد، از جمع دو عدد قبلی به دست می آیند. یعنی ترکیب به صورت زیر ایجاد می شود.

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 …

مسلما این دنبال عددی می تواند تاثیرات مختلفی را در بازار های بورسی داشته باشد. به همین علت هم فعالان این بازار باید با مباحث مقدماتی مربوط به این دنباله آشنا باشند.

فیبوناچی در تحلیل تکنیکال

کاربرد این رشته اعداد در تحلیل تکنیکال

فیبوناچی در تحلیل تکنیکال، سطوح مختلفی دارد. این سطوح می توانند مجموعه خطوط دنباله فيبوناچي و عدد طلايي افقی باشند که حمایت و مقاومت را به ما نشان می دهند. هر سطح در فیبوناچی یک درصد خاص دارد که این درصد از اهمیت بالایی برخوردار است.

فیبوناچی در تحلیل تکنیکال، یک ابزار جادویی به حساب نمی آید. شما نمی توانید با استفاده از این ابزار به صورت قطعی نتیجه نهایی را بررسی کنید. ولی، این ابزار ها می توانند برای عدم قطعیت کاربرد داشته باشند. خیلی از متخصصان معتقد هستند که از دنباله فیبوناچی نمی توان به عنوان یک ابزار برای معامله استفاده کرد. ولی در کل دنباله فیبوناچی یک دنباله به شدت مهم و کاربردی در تحلیل های تکنیکال بوده که اهمیت فوق العاده بالایی دارد. معمولا فیبوناچی می تواند سطوح حمایت و مقاومت تقلبی را ایجاد دنباله فيبوناچي و عدد طلايي کند. در نتیجه، شما باید به این مسئله هم توجه ویژه ای داشته باشید.

نسبت طلایی اعداد فیبوناچی

دنباله اعداد فیبوناچی را بار دیگر در نظر می گیریم:

• ۱۰—-۹—-۸—-۷—-۶—-۵—-۴—-۳—-۲—-۱—-شماره جمله
• ۵۵—-۳۴—-۲۱—-۱۳—-۸—-۵—-۳—-۲—-۱—-۱—-مقدار جمله
• نسبت جمله دوم به اول برابر است با ۱
• نسبت جمله سوم به دوم برابر است با ۲
• نسبت جمله چهارم به سوم برابر است با ۱٫۵
• نسبت جمله پنجم به چهارم برابر است با ۱٫۶۶
• نسبت جمله ششم به پنجم برابر است با ۱٫۶
• نسبت جمله هفتم به ششم برابر است با ۱٫۶۲۵
• نسبت جمله هشتم به هفتم برابر است با ۱٫۶۱۵
• نسبت جمله نهم به هشتم برابر است با ۱٫۶۱۹
• نسبت جمله دهم به نهم برابر است با ۱٫۶۱۷

به نظر می‌رسد که این رشته به عدد طلایی نزدیک می‌شود. اگر نسبت عدد چهلم این رشته را به عدد قبلی حساب کنیم به عدد ۱٫۶۱۸۰۳۳۹۸۸۷۴۹۸۹۵ می‌رسیم که با تقریب ۱۴ رقم اعشار نسبت طلایی را نشان می‌دهد. نسبت جملات متوالی به عدد طلایی میل می‌کند.

در توالی اعداد فیبوناچی، در صورت در نظر نگرفتن چند جمله اول این دنباله، مابقی اعداد تقریبا 1.618 برابر عدد ما قبل خود است.

زاویه φ

معادله خطی به صورت y=mx در نظر می‌گیریم m .به معنی شیب خط است و یک عدد حقیقی است. می‌دانیم اگر m گنگ باشد، خط y=mx از هیچ نقطه‌ای با مختصات صحیح به جز مبدأ عبور نخواهد کرد. در واقع این خط امکان ندارد از نقطه‌ای (جز مبدأ) عبور کند که هم x و هم y آن عدد صحیح باشند.

حال به جای m قرار می‌دهیم: φ. یعنی خط y=φx را در نظر می‌گیریم. چون φ هم یک عدد گنگ است، این خط از هیچ نقطه‌ای با x و yy صحیح (جز مبدأ) عبور نخواهد کرد. به همین دلیل نقطه‌هایی را با x و y صحیح در نظر می‌گیریم که کمترین فاصله را از این خط دارند. ابتدا به نظر می‌رسد نقطه (۱,۱) کمترین فاصله را با این خط دارد. ولی فاصله نقطه (۱,۲) از این خط کمتر است.

نقطه (۳,۲۲) فاصله کمتری با این خط دارد. همچنین فاصله نقطه (۳,۵) از این هم کمتر است. این نقاط به همین ترتیب ادامه خواهند یافت و در زیر چند نقطه بعدی را که فاصله‌شان از این خط کمتر می‌شود را می‌بینید:

صحت مطالب فوق به راحتی قابل بررسی است. با کمی دقت در مختصات این نقاط درخواهیم یافت که این مختصات از الگوی دنباله اعداد فیبوناچی پیروی می‌کنند. این نقاط را نقاط فیبوناچی می‌نامند.

اعداد فیبوناچی در طبیعت

اعداد فیبوناچی و نسبت طلایی در جوانب مختلف هستی کشف شده اند. خطوط ماپیچ و اعداد فیبوناچی، حاصل نسبت های موجود بین دنباله اعداد فیبوناچی هستند.

شاخ و برگ درخت ها به صورت تصادفی در جهات مختلف رشد نمی کنند. اندازه گیری زاویه شاخه ها نشان می دهد که در الگوی رشد آن ها، نظمی شبیه دنباله فیبوناچی و نسبت طلایی وجود دارد.

در قسمت لاک حلزون از زاویه فی استفاده شده است. شاخ و برگ درخت ها به صورت تصادفی در جهات مختلف رشد نمی کنند. اندازه گیری زاویه شاخه ها نشان می دهد که در الگوی رشد آن‌ها، نظمی شبیه دنباله فیبوناچی و نسبت طلایی وجود دارد. درختان با پیروی از این نوع الگوی رشد، قادرند درصد بیشتری از نور خورشید را جذب کنند.

نسبت طلایی (۱٫۶۱۸) در ساختار آفتابگردان نیز بکار رفته است.

دانه های آفتابگردان به شکل مارپیچ هایی روبروی هم رشد می کنند. طبق تحقیقات انجام شده نسبت قطر هر مارپیچ به مارپیچ بعدی ۱٫۶۱۸ است. حتی در ساختار شکل گوش ما هم از اعداد فیبوناچی تبعیت شده است.

نمونه هایی از نسبت طلایی در طبیعت

نسبت طلایی (۱٫۶۱۸) در آناتومی بدن انسان نیز بکار رفته است.

اگر قد خود را بر فاصله عمودی ناف تا نوک انگشتان خود تقسیم کنید، تقریبا عدد ۱٫۶۱۸ را بدست می‌آورید. با تقسیم طول بازوی خود از نوک انگشت بزرگ تا بالای شانه، بر فاصله نوک انگشت بزرگ تا آرنج خود نیز به این نسبت می‌رسید.

از آنجایی که این نسبت در بسیاری از اندازه‌های بدن انسان وجود دارد، از آن به نام نسبت الهی نیز یاد می‌شود.

علاوه بر طبیعت، از زمان باستان بسیاری از هنرمندان و معماران نیز از رابطه‌های ریاضی و هندسی در آثار خود استفاده می‌کردند. برای مثال می‌توان به آثار تاریخی باقی مانده از دوران مصر باستان، یونان و رم اشاره کرد. مثلا معبد معروف پارتنون بهترین مثال از کاربرد نسبت طلایی (۱٫۶۱۸) است. نسبت عرض به طول پنجره‌های مستطیل شکل معبد همگی برابر نسبت طلایی است.

در اهرام مصر نیز این نسبت بخوبی رعایت شده است. طول هر ضلع قاعده هرکدام از اهرام به ارتفاع آن، معادل نسبت طلایی می‌باشد.

معامله بر اساس تراز های فیبوناچی

ترازهای فیبوناچی ابزار بسیار قدرتمندی در معاملات است. معاملات می‌تواند فقط بر اساس این تراز ها و یا بر اساس ترکیبی از این تراز ها با روش‌های دیگری مثل نمودار های شمعی، اندیکاتور ها و پترن ها انجام شود.

برای قرار دادن ترازهای فیبوناچی در چارت ابتدا باید مقادیر حداکثر و حداقل مهم چارت را بیابیم. این امر ممکن است نیازمند برگشت به عقب به مدت چند روز یا حتی چند هفته باشد. برخی از معامله گران این ترازها را روی قالب های زمانی مختلفی تا هفتگی و ماهانه قرار می دهند که این ترازها می تواند بازار را تحت تاثیر قرار دهد.

همگرائی ترازهای فیبوناچی می تواند با قرار دادن ترازهای فیبوناچی در قالب های زمانی مختلف ، پدید آید.وقتی همگرائی پدید می آید، این ترازها می توانند مهمتر قلمداد شوند. همچنین همگرائی ترازهای فیبوناچی با ترازهای حمایت و مقاومت و خطوط روند نیز مهم است.

ترازهای فیبوناچی بازگشتی

معاملات بازگشتی کم خطر تر از معامله بر اساس شکست هستند. ترازهای اصلی عبارتند از:

(۷۶٫۴%) ۷۸٫۶% ,۶۱٫۸% ,۵۰% ,۳۸٫۲%

بازار به طور معمول پس از هر حرکت قوی و قبل از ادامه حرکت، بازگشت می کند. نمی توان گفت که بازار همواره دقیقا به این تراز ها برخورد می کند. مثلا ممکن است قیمت در نقطه ای بین ۵۰ % و ۶۱٫۸ % برگردد. تراز های ۶۱٫۸ % و ۷۶٫۴ % نیز برای برگشت بسیار متداول هستند.

این تزار ها را در قالب های زمانی مختلف پیگیری کنید. بهترین راه صبر کردن تا حصول تایید برگشت روند در نزدیکترین نقطه به C قبل از ورود به معامله است. قسمت مشکل معامله بر اساس ترازهای فیبوناچی این است که دریابیم کدام یک از این تراز ها منجر به برگشت می شوند.

برای تصمیم به خرید ابتدا باید قیمت از نقطه حداقل A به نقطه حداکثر B برسد و به نقطه C بازگشت کند با تغییر جهت در نقطه C و شروع یک صعود دیگرمی توان اقدام به خرید نمود . معکوس همین حالت نیز برای اقدام به فروش صادق خواهد بود.

نقاط حداکثر یا حداقل بین روز، یک روزه، دو روزه و سه تا پنج روزه نیز دارای اهمیت خاصی هستند. الگوهای شمعی وقتی در نزدیکی تراز های فیبوناچی و سایر تراز های حمایت و مقاومت شکل بگیرند، بسیار قابل اطمینان تر هستند. نمودار های شمعی همچنین برای هشدار در پایان بازگشت نیز بسیار موثرند.

کف و سقف دوبل نیز معمولا در تراز های فیبوناچی نظیر بازگشتی %۶۱٫۸ و انبساطی %۱۲۷ تشکیل می شود.

اعداد مهم فیبوناچی

برخی از اعداد مهم دنباله اعداد فیبوناچی، برای معامله گران و تحلیل گران بازار های مالی از اهمیت خاصی برخوردارند. تحلیل گران حرفه ای در آموزش تحلیل تکنیکال معتقدند که، هنگامی که نمودار قیمت نزدیک حمایت و مقاومت ها شود، برای تعیین سطوح بازگشتی قیمت دنباله فيبوناچي و عدد طلايي باید از ابزار اعداد فیبوناچی استفاده کرد..

اعداد مهم فیبوناچی در بازار های مالی عبارت اند از:

%23.6 – %38.2 – %50 – %61.8 – %78.6 – %100 – %161.8 – %261.8 – %423.6

اکثر اعداد مهم فیبوناچی خاصیت حمایی و مقاومتی برای نمودار قیمتی دارند. همچنین در مواقعی از آنها به عنوان سطوحی که قیمت سهم یا ارز مربوطه می تواند به آن ها برسند، استفاده می شود.

تعدادی از صاحب نظران در تحلیل تکنیکال معتقدند به علت تنوع زیاد سطوح اعداد فیبوناچی، ممکن است معامله گران در تعیین معتبرین سطح در معاملات خود دچار اشتباهات و اختلاف نظر شوند.

اعداد فیبوناچی اصلاحی

فیبوناچی اصلاحی یا Fibonacci Retracement در تعیین سطوح حمایتی و مقاومتی کاربرد دارد. فیبوناچی اصلاحی فرمولی برای محاسبه و تحلیل ندارد. تنها براساس اعداد موجود در بازه قیمتی که توسط دو نقطه برای آن مشخص می‌شود برخی از درصد های مهم را تعیین می‌کند.

مهم ترین سطوح و اعداد فیبوناچی اصلاحی که با آنها سروکار داریم، سطوح 23.6%، 38.2%، 50%، 61.8% و 78.6% هستند.

در ادامه نمونه‌ای از دنباله فيبوناچي و عدد طلايي استفاده از ابزار فیبوناچی اصلاحی در تریدینگ ویو را بررسی می‌کنیم.

اعداد فیبوناچی اصلاحی | کالج تی بورس

چارت فوق نمودار قیمتی BTC/USDT است. با استفاده از ابزار Fib Retracement، نقطه ابتدایی را در سطح قیمتی 58800 و نقطه دوم را در سطح 29600 رسم کردیم.

همان طور که مشاهده می‌کنید سطوح فیبوناچی اصلاحی به صورت خودکار در سطوح قیمتی مختلف، بین دو نقطه‌ای که مشخص کردیم تشکیل شدند.

به عنوان مثال سطح 0.236 همان سطح 23.6% است که سطح قیمتی 36523 را نشان می‌دهد. به صور مشابه سطح 0.382 همان سطح 38.2% است که در اینجا به عنوان یک سطح مقاوتی در قیمت 40776 ایجاد شده و از افزایش قیمت جلوگیری کرده است.

نکته مهمی که در رابطه با سطوح و اعداد فیبوناچی اصلاحی باید مد نظر داشته باشید. این است که اعتبار آنها همیشه زیاد نیست. به عبارتی هنگام نزدیک شدن قیمت به این سطوح سعی کنید رفتار قیمت را از لحاظ پرایس اکشن نیز بررسی کنید و با توجه به واقعیت حاکم در بازار، منطقی ترین استفاده را از اعداد و سطوح فیبوناچی اصلاحی ببرید.

نسبت طلایی-عدد طلایی

نسبت طلایی-عدد طلایی کاربردهای فراوانی در هنر و معماری و… دارد. از مارپیچ‌های دی‌ان‌ای گرفته تا مارپیچ گوش انسان، حلزون، ساختار مارپیچی کهکشان‌ها و تمام زیبایی‌های طبیعت ازجمله برگ‌های درختان، خطوط و نقش و نگار روی پرهای طاووس و مارپیچ‌های آفتابگردان این نسبت رعایت شده است.

تعریف نسبت طلایی( Golden ratio ) یا عدد فی ( \phi ) :

عددی (ثابت) مثبت است که اگر به آن یک واحد اضافه کنیم، به مربع آن خواهیم رسید.

تعریف هندسی: طول مستطیلی به مساحت واحد که عرض آن یک واحد کمتر از طولش باشد. مقدار دقیق عدد فی برابر است با:

نسبت طلایی-عدد طلایی کاربردهای فراوانی در هنر و معماری و… دارد. از مارپیچ‌های دی‌ان‌ای گرفته تا مارپیچ گوش انسان، حلزون، ساختار مارپیچی کهکشان‌ها و تمام زیبایی‌های طبیعت ازجمله برگ‌های درختان، خطوط و نقش و نگار روی پرهای طاووس و مارپیچ‌های آفتابگردان این نسبت رعایت شده است.در سنجش تناسب اندام خود می‌توانید فاصله انگشتان پا تا ناف را بر فاصله ناف تا بالای سر تقسیم و حاصل را با عدد ۱٫۶۱۸ مقایسه کنید. هر چه این عدد به ۱٫۶۱۸ نزدیک‌تر باشد به این معنی است که شما تناسب اندام خوبی دارید. چنین نشانه‌هایی که در آنها می‌توان به نسبت طلایی رسید، در بدن انسان بسیار زیاد است.

نسبت طلایی-عدد طلایی در ایران

برج و میدان آزادی : طول بنا ۶۳ و عرض آن ۴۲ است که ۱٫۵=۴۲ : ۶۳ و به عدد طلایی نزدیک می‌باشد سبک معماری آن نیزطاق بزرگی است که تلفیقی از سبک هخامنشی و ساسانی است که منحنی آن با الهام از طاق کسری معماری ایران باستان را تداعی می نماید.

قلعه دالاهو، کرمانشاه : خطی از استحکامات به طول دو و نیم کیلومتر و عرض چهار متر با قلوه و لاشه سنگ به همراه ملات دیوار گچ را می سازد. سرتاسر نمای خارجی این دیوار با مجموعه‌ای از برج‌های نیم دایره‌ای شکل دنباله فيبوناچي و عدد طلايي تقویت شده است.می دانیم۱٫۶=۲٫۵ : ۴ که همان عدد طلایی است.

بیستون از دوره هخامنشی : به طول ۵ کیلومتر و عرض ۳ کیلومتراست.اعداد ۵و۳هردوجزودنباله فیبوناتچی هستندو۱٫۶=۵:۳ و ابعاد برجسته کاری ۱۸ در ۱۰ پاست که قامت “داریوش”۵ پا و ۸ اینچ (۱۷۰ سانتیمتر) بلندی داردکه هر دو اعداد فیبوناتچی هستند.

پل ورسک در مازندران: این پل بر روی رودخانه ورسک در مجاورت سواد کوه بنا شد.بلندی این پل ۱۱۰ متر است وطول قوس آن ۶۶ متر می‌باشد(۱٫۶ = ۶۶ : ۱۱۰ ).

مقبره ابن سینا : آرامگاه دروسط تالاری مربع شکل قرارگرفته که پله مدور(مارپیچ فیبوناتچی) و پایه‌های دوازده گانه برج را احاطه کرده اند . سطح حیاط باسه پله سراسری به ایوان متصل است. ایوان با دری به ارتفاع ۳٫۲ متر و عرض ۱٫۹ متر به سرسرای آرامگاه متصل است (۱٫۶=۱٫۹ : ۳٫۲ )در دو طرف سرسرا دو تالار قرار دارد یکی در جنوب که تالار سخنرانی و اجتماعات است و یکی در شمال که کتابخانه آرامگاه است.طول تالار کتابخانه ۹٫۴۵ متر وعرض آن ۵٫۷۵ متر است(۱٫۶=۵٫۷۵ : ۹٫۴۵ )

دنباله فیبوناچی و رابطه آن با نسبت طلایی-عدد طلایی

دنباله اعداد زیر را در نظر بگیرید

۰, ۱, ۱, ۲, ۳, ۵, ۸, ۱۳, ۲۱, ۳۴, …

در هر مرحله، عدد بعدی با جمع کردن دو عدد قبل عدد مورد نظر، به دست می‌آید.

• ۲ از جمع دو عدد قبل خود ( ۱ + ۱ ) به دست آمده است.
• به طور مشابه، ۳ از جمع دو عدد قبل خود ( ۲ + ۱ ) به دست آمده است.
• و ۵ از جمع ( ۳ + ۲ ) به دست می‌آید.
• و به همین ترتیب ادامه می‌یابد!

مثال: عدد بعدی در دنباله فیبوناچی بالا، برابر است با:

۲۱ + ۳۴ = ۵۵

لیست بلند تری از اعضای دنباله بالا به صورت زیر است:

۰, ۱, ۱, ۲, ۳, ۵, ۸, ۱۳, ۲۱, ۳۴, ۵۵, ۸۹, ۱۴۴, ۲۳۳, ۳۷۷, ۶۱۰, ۹۸۷, ۱۵۹۷, ۲۵۸۴, ۴۱۸۱, ۶۷۶۵, ۱۰۹۴۶, ۱۷۷۱۱, ۲۸۶۵۷, ۴۶۳۶۸, ۷۵۰۲۵, ۱۲۱۳۹۳, ۱۹۶۴۱۸, ۳۱۷۸۱۱, …

با تقسیم جملات متوالی این دنباله بر هم این نسبت به نسبت طلایی-عدد طلایی نزدیک و نزدیک‌تر می‌گردد.

دنباله فيبوناچي و عدد طلايي

پایان نامه خواص دنباله فیبوناچی و عدد طلایی مربوطه به صورت فایل ورد word و قابل ویرایش می باشد و دارای ۶۶ صفحه است . بلافاصله بعد از پرداخت و خرید لینک دانلود پایان نامه خواص دنباله فیبوناچی و عدد طلایی نمایش داده می شود، علاوه بر آن لینک مقاله مربوطه به ایمیل شما نیز ارسال می گردد

فهرست مطالب

۱-۱- تاریخچه ۱
۲-۱- دنباله فیبوناچی چیست :‌ ۱
۳-۱- عدد طلایی چیست :‌ ۲
۴-۱- تعریف عدد طلایی : ۳
۵-۱- ارتباط عدد طلایی با دنباله فیبوناچی :‌ ۴
۶-۱- نمایش کسری عدد طلایی : ۵
۷-۱- عدد طلایی ، گنگ یا گویا : ۶
۸-۱- دواثبات برای رابطه عمومی جملات دنباله فیبوناچی ۷
اثبات اول ( ساده ترین روش مطرح شده ) :‌ ۷
اثبات دوم ( با استفاده از ماتریسها ) : ۸
اعداد فیبوناچی و موجودات زنده :‌ ۱۴
۱-۲- خرگوش‌های فیبوناچی ۱۴
گاوهای دودنی ۱۶
۲-۲- زنبورهای عسل و شجره خانوادگی ۱۷
۳-۲- اعداد فیبوناچی و اندام انسانها : ۱۹
۴-۲- ستاره دریایی ۱۹
۵-۲- مستطیل‌های فیبوناچی و مارپیچ های صدفی ۲۰
اعداد فیبوناچی و گیاهان ۲۳
۱-۳- مقدمه ۲۳
۲-۳- مخروط های کاج ۲۵
اعداد فیبوناچی مخروطها: ۲۶
۳-۳- آناناس ۲۷
۴-۳- موز و سیب : ۲۸
۵-۳- کلم و کلم بروکلی ۲۸
۶-۳- بخش فوقانی گلهای تخمدار ۲۹
۷-۳- ترتیب بندی در شاخه ها ۳۵
۸-۳- نخل خرما ۳۷
۹-۳- ترتیب بندی های برگ ۳۹
برگها در هر چرخش ۳۹
طرز قرارگیری برگ در بعضی از گیاهان معمول ۴۱
گیاهان ۸ برگ : ۴۲
۱۰-۳- ترتیب بندیها در گلبرگ ها ۴۳
گلبرگ های موجود بر روی گل ها ۴۳
سوسن ۴۴
– گل های دارای چهار گلبرگ: ۴۴
– گلهای دارای ۵۵ ، ۸۹ گلبرگ: ۴۶
۱-۴- شمارش فیبوناچی و عدد طلایی ۴۸
چرا طیبعت تمایل به استفاده از phi در بسیاری از گیاهان دارد؟ ۴۹
۲-۴- بسته بندی‌‌ها ۴۹
۳-۴- مریستم و الگوهای رشد مارپیچی ۵۰
۴-۴- عدد طلائی (phi) در طبیعت ۵۱
تناسب ـ نسبت طلائی ۵۴
معرفی کتاب : ۵۶
کتابهای نوشته شده در توسط Truai Garlancl : ۵۶
مقالات : ۵۷
برنامه نویسی ۵۸
منابع : ۶۲

منابع :

ابراهیمی ، محمد مهدی ، ضروریات جبری ، جلد ۲ ( ماتریس ها و فضاهای برداری ) ، نوشته
تی . اس . پلاس وای . اف . رابرتسون ( ترجمه ) ، چاپ اول ، فروردین ۱۳۸۰ ، چاپ هفتم ،
دی ۱۳۸۲

Marhematical Mystery Tour by Mard Whal , 1989.

Fascinating Fibonaccis by Trudi Hammel Garland .

Fibonacci Fun : Fascinating Activities with Intriguing Numbers Trudi.

Mathematical Models H M Cundy and A P Rollett .

On Growth and From by D’Arcy Wentworth Thompson , Dover ,
( Complete Revised edition 1992).

۱-۱- تاریخچه

لئوناردو دا پیزا یا به عبارت مشهورتر فیبوناچی یکی از بزرگترین ریاضی دانان اروپا در سال ۱۱۷۵ در شهر پیزا متولد شد . وی به علت حرفه پدریش که بازرگانی بود به کشورهای بسیاری از جمله مصر و سوریه و … مسافرت نمود . فیبوناچی در سال ۱۲۰۰ به زادگاه خود یعنی شهر پیزا در ایتالیا مراجعت نمود.

معرفی سیستم اعداد اعشاری به عنوان جایگزینی بسیار کارآمدتر به جای سیستم اعداد رومی که استفاده از آن زمان امپراطوری روم رایج بوده است از جمله مهمترین کارهای این ریاضیدان بزرگ در طول حیاتش بوده است . وی در ابتدای اولین بخش از کتاب خود به نام Liber abci در مورد این سیستم چنین می گوید :

« نه رقم هندی وجود دارد : ۱ ۲ ۳ ۴ ۵ ۶ ۷ ۸ ۹ که به وسیله آنها و همچنین‌علامت . که در عربی صفر نامیده می شود می توان هر عددی را به شیوه هایی که توضیح داده خواهد شد نوشت » .

موارد قابل توجه زیادی در مورد زندگی این ریاضیدان وجود دارد که شاید در مختصر نوشته ای در آینده با نام معرفی فیبوناچی به آنها اشاره خواهیم نمود.

اما آنچه در اینجا موردبحث قرار خواهد گرفت دنباله ای از اعداد می باشد که همه ما در دوران دبیرستان با این دنباله به عنوان یکی از مصادیق دنباله های بازگشتی آشنا شده‌ایم . هرچند که این دنباله در نگاه اول بسیار ساده و معمولی به نظر می رسد ولی روابط و نکات قابل توجهی در مورد این دنباله ساده وجود دارد که سالیان است
توجه بسیاری از متخصصین نظریه اعداد را به خود معطوف کرده و آنها را به شگفتی واداشته است .

۲-۱- دنباله فیبوناچی چیست :‌

در دوران حیات فیبوناچی مسابقات ریاضی در اروپا بسیار مرسوم بود . در یکی از همین مسابقات که در سال ۱۲۲۵ در شهر پیزا توسط امپراطور فردریک دوم برگزار شده بود مسئله زیر مطرح شد .

فرض کنیم خرگوشهایی وجود دارند که هر جفت ( یک نر و یک ماده ) از آنها که به سن یک ماهگی رسیده باشند به ازاء هر ماه که از زندگیشان سپری شود یک جفت خرگوش متولد می کنند که آنها هم از همین قاعده پیروی می کنند . حال اگر فرض کنیم این خرگوشها هرگز نمی میرند و در آغاز یک جفت از این نوع خرگوش ها در اختیار داشته باشیم که به تازگی متولد شده اند حساب کنید پس از n ماه چند جفت از این نوع خرگوش خواهیم داشت .

فرض کنیم X_n تعداد جفت خرگوش پس از n ماه باشد ، می دانیم که X₂=1,X₁=1 ، تعداد جفت خرگوشها در ماه n+1 ام برابر خواهد بود با حاصلجمع تعدادجفت خرگوشهایی که در این ماه متولد می شوند با تعداد جفت خرگوشهای موجود (X_n ) . اما چون هر جفت خرگوش که از دو ماه قبل موجود بوده هم اکنون حداقل دوماه سن خواهند داشت و به سن زاد و ولد رسیده اند تعداد جفت خرگوشهای متولد شده برابر خواهدبود با X_n-1 پس خواهیم داشت :

که اگر از قواعد مذکور پیروی کنیم به دنباله زیر خواهیم رسید که به دنباله فیبوناچی مشهور است .

فیبوناچی با حل این مسئله از راه حل فوق دنباله حاصل را به جهان ریاضیات معرفی کرد که خواص شگفت انگیز و دنباله فيبوناچي و عدد طلايي دنباله فيبوناچي و عدد طلايي کاربردهای فراوان آن تا به امروز نه تنها نظر ریاضیدانان بلکه دانشمندان بسیاری از رشته های دیگر را به خود جلب کرده است .

۳-۱- عدد طلایی چیست :‌

پیشینه توجه به این عدد نه به زمان فیبوناچی بلکه به زمانهای بسیار دورتر می رسد. اقلیدس در قضیه
سی ام جلد ششم از سیزده جلد کتاب مشهور خود که در آنها هندسه اقلیدسی را بنا نهاد این نسبت را مطرح کرده است .

لوکا پیشولی (Luca Pacioli ) در سال ۱۵۰۹ پس از میلاد کتابی با عنوان نسبت الهی
(The Divine Propotion ) تالیف کرد . وی در آن نقاشی هایی از لئوناردو داوینچی آورده است که پنج جسم افلاطونی را نمایش می دهند و در آنها نیز به این نسبت اشاره شده است .

در این نوشته نماد یونانی (Phi ) Ф را برای عدد طلایی برمی گزینیم . هرچند بعضی از ریاضیدانان از نمادهای دیگری مانند ( Tau ) نیز برای نمایش این عدد استفاده نموده اند .

۴-۱- تعریف عدد طلایی :

عدد طلایی عددی مثبت است که اگر به آن یک واحد اضافه کنیم به مربع آن خواهیم رسید و یا عددی که یک واحد از معکوس خود بزرگتر باشد را عدد طلایی می نامیم. در اثر هر دو تعریف به یک معادله درجه دوم دست خواهیم یافت .

اگر طرفین را در Phi ضرب کنیم خواهیم داشت :‌ Phi 2 = Phi +1

عبارت فوق از ساده ترین تعاریف برای عدد طلایی می باشد .

برای پیداکردن مقدار این عدد کافی است معادله درجه دوم (۱) را حل کنیم . می توان این معادله را از روش عمومی حل معادلات درجه دوم به آسانی حل کرد و یا از راه حل زیر برای آن استفاده کرد :‌

داریم )

از آنجا که عدد موردنظرما مثبت است‌عدد طلایی برابر خواهد بود با ، اما ریشه دیگر معادله نیز از بابت کاربرد برای ما حائز اهمیت می باشد که آن را با نمایش می دهیم .دنباله فيبوناچي و عدد طلايي

اگر نگاه دقیق تری به دو ریشه حاصل از معادله داشته باشیم به روابط جالبی بین آنها دست خواهیم یافت که به راحتی قابل اثبات می باشند ، به عنوان مثال :‌

۵-۱- ارتباط عدد طلایی با دنباله فیبوناچی :‌

روشهای متفاوتی برای بیان رابطه بین عدد طلایی و دنباله فیبوناچی وجود دارد که ما در اینجا به چند نمونه اشاره می کنیم .

۱- اگر معادله خط را در نظر بگیریم چون Phi که به عنوان شیب این خط در نظر گرفته شده عددی است گنگ و نمی توان آن را به صورت حاصل تقسیم دو عدد صحیح نوشت خط از هیچ نقطه ای با مختصات (i , j ) به طوریکه j ,i هر دو عدد صحیح باشند نخواهد گذشت به استثنا نقطه مبداء با مختصات (۰,۰ ) که در تمام خطوط با معادلی کلی y=ax مشترک می باشد.

حال اگر نمودار این خط را رسم کنیم نکته ای که قابل توجه می باشد نزدیکترین نقاط با مختصات ( i , j ) به طوریکه
i , j هر دو صحیح باشند به این خط است . در حال حاضر فرض بر آن است که این خط برای تعریف شده هرچند که این مطلب تاثیر چندانی روی استدلال نخواهد داشت اما چون بحث را بر روی اعداد مثبت آغاز کرده ایم اینطور فرض می نمائیم .

برای یافتن نقاط نزدیک به این خط با مختصات صحیح از نقطه ( o , o ) خط را مورد بررسی قرار می دهیم . اگر از نقطه ابتدایی که همانطور که در فوق آمد استثنا میباشد صرف نظر نمائیم . به نظر می رسد نزدیکترین نقطه (۱,۱ ) می باشند . نقطه بعدی( ۲,۱) است . پس از آن نقطه (۳,۲ ) به خط نزدیک می باشد و به ترتیب زیر ادامه خواهدیافت .

(۱,l), (2,l),(3,2),(5,2) , (8 ,5) , (13,8) , (21,13) , (34,21) , (55,34),…

صحت مطالب فوق به راحتی قابل بررسی می باشد، باکمی دقت در مختصات این نقاط در خواهیم یافت که این مختصات از الگوی دنباله فیبوناچی پیروی می کند . این نقاط را نقاط فیبوناچی می نمامیم .

۲- دومین مطلبی که در زمینه ارتباط Phi با دنباله فیبوناچی قابل ذکر است به این قرار است :‌

به نظر می رسد که دنباله همگرا به عددی بین ۶/۱ تا ۷/۱ می باشد اما هیچکدام از این مطالب دلیل همگرایی نمی باشد . باید حد دنباله محاسبه شود :‌

براساس ضابطه دنباله فیبوناچی اگر n را به اندازه کافی بزرگ درنظر بگیریم میتوان نوشت :‌

حال اگر حد دنباله را هنگامی که n به بینهایت میل می کند L فرض کنیم خواهیم‌داشت :

و با حل معادله فوق به حد دنباله دست خواهیم یافت . توجه کنید که معادله حاصل در واقع همان معادله ایست که در ابتدا برای بدست آوردن عدد طلایی مطرح شد .

با حل این معادله خواهیم داشت :

چون می دانیم که حد دنباله مثبت است ( چون تمام جملات دنباله مثبت هستند) پس حد دنباله ساخته شده برابر با عدد طلایی می باشد . L=Phi

البته مطلب فوق مختص سری فیبوناچی نیست . برای هر دنباله ای که از قاعده فیبوناچی پیروی کند ، با هر مقدار دلخواه برای دو جمله ابتدایی ، صادق است .

۶-۱- نمایش کسری عدد طلایی :

اگر تعاریف مطروحه برای عدد طلایی را به خاطر بیاورید حتماً رابطه زیر را نیز به یاد خواهید آورد . Phi = 1 + 1/Phi

این رابطه بدین معناست که ما مجاز به جایگزینی Phi با ۱+۱/Phi در روابط میباشیم . حال اگر در خود رابطه این جایگزینی را اعمال نمائیم خواهیم داشت :

Phi = 1+1/Phi = 1+1/(1+1/Phi)=1+1/(1+1/(1+1/Phi))= …

در نتیجه Phi را می توان به صورت یک کسر نامتناهی به شکل زیر نوشت :‌

متوقف کردن این کسر در مراحل گوناگون ما را به تقریبهایی برای Phi میرساند که هرچه توقف درمرتبه بالاتری صورت پذیرد تقریب به Phi نزدیکتر خواهدبود . به چند نمونه از این تقریبها دقت کنید :‌

Phi =1,Phi=1+1/1=2,Phi=1+1/(1+1/1)=3/2 , Phi=1+1/(1+1/(1+1/1))=5/3

مشاهده می کنیم که اولین عدد ( ۱ ) برابر است با Fib (2) /Fib(1) همانطور که از رابطه نمایش کسری Phi مشخص است کافی است به معکوس این عدد یک واحد بیافزاییم تا تقریب بعدی به دست آید

خواهیم دید که این اعداد در حقیقت جملات دنباله Phi(n) میباشنى که همانطور که در قبل نشان داده شد در بی نهایت به Phi میل می کنند.

۷-۱- عدد طلایی ، گنگ یا گویا :

با کمی دقت به آسانی درخواهیم یافت عدد طلایی یکی از اعضاء مجموعه اعداد گنگ می باشد اما برای اثبات این ادعا استدلال جالب توجهی وجود دارد که بیان دنباله فيبوناچي و عدد طلايي آن خالی از لطف نیست :

برای اثبات درنظر داریم از برهان خلف استفاده کنیم . در ابتدا فرض کنیم Phi یک عدد گنگ نیست
( خلاف حکم ) ، اگر این فرض را قبول کنیم باید پذیرفت که عدد Phi گویاست و لذا می توان آن را به صورت کسر دو عدد صحیح نمایش داد . فرض کنیم کسر موردنظر A/B باشد ، می توان این کسر را تا آنجا ساده کرد که صورت و مخرج آن نسبت به هم اول باشند ( هیچ عامل اول مشترکی نداشته باشند ) ، پس داریم :

به طوریکه p , q نسبت به هم اول می باشند ، حال به تعریف Phi رجوع می کنیم :‌

می دانیم که چون q در مخرج کسر قرار گرفته پس ، پس با ضرب طرفین (*) در q 2 خواهیم داشت :

همانطور که ملاحظه می کنید سمت چپ معادله دارای عامل p می باشد پس p عامل q 2 هم خواهد بود ، اما چون p,q نسبت به هم اول هستند پس p=1 خواهد بود.

از طرف دیگر از رابطه (**) خواهیم داشت :

باز هم مانند استدلال قبل چون q از عوامل سمت راست معادله است پس باید عامل سمت چپ معادله هم باشد پس q عامل P 2 است و چون p,q نسبت به هم اول هستند q=1 خواهد شد ، در نتیجه :

ولی عدد یک در تعریف Phi صدق نمی کند ، این تناقض مبین باطل بودن فرض است ، یعنی Phi گویا نیست پس ثابت شد که Phi گنگ است .

۸-۱- دواثبات برای رابطه عمومی جملات دنباله فیبوناچی

در اینجا دو اثبات برای رابطه عمومی اعداد طلایی را مطرح می کنیم . روش اول ساده ترین اثباتی است که تاکنون برای این رابطه مطرح شده و در روش دوم با استفاده از ماتریس ها به اثباتی برای این رابطه دست خواهیم یافت .

اثبات اول ( ساده ترین روش مطرح شده ) :‌

از آنچه در مطلب خواص دنباله فیبوناچی و عدد طلایی آمده داریم :

Phi n = Fib(n-1)+Fib(n)Phi

(-Phi) n = Fib(n-1)-Fib(n)Phi

از تفریق دو رابطه (۱) و (۲) خواهیم داشت :‌

حال برای بدست آوردن رابطه مطلوب از رابطه حاصل شده از رابطه : Phi = 1/Phi

که در قبل درستی آن نشان داده شده استفاده می کنیم ، خواهیم داشت :

همانطور که ملاحظه کردید به سادگی با استفاده از روابطی که در گذشته اثبات نمودیم رابطه عمومی دنباله اعداد فیبوناچی اثبات شد .

اثبات دوم ( با استفاده از ماتریسها ) :

تمام مقالات و پایان نامه و پروژه ها به صورت فایل دنلودی می باشند و شما به محض پرداخت آنلاین مبلغ همان لحظه قادر به دریافت فایل خواهید بود. این عملیات کاملاً خودکار بوده و توسط سیستم انجام می پذیرد.

جهت پرداخت مبلغ شما به درگاه پرداخت یکی از بانک ها منتقل خواهید شد، برای پرداخت آنلاین از درگاه بانک این بانک ها، حتماً نیاز نیست که شما شماره کارت همان بانک را داشته باشید و بلکه شما میتوانید از طریق همه کارت های عضو شبکه بانکی، مبلغ را پرداخت نمایید.